Question

12．已知直線l：y=2x+m與圓O：x²+y²=1相交于A，B兩個不同的點，且A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）．
（1）當△AOB面積最大時，求m的取值，并求出|AB|的長度．
（2）判斷sin（α+β）是否為定值；若是，求出定值的大小；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）當△AOB面積最大時，OA⊥OB，即可求m的取值，并求出|AB|的長度．
（2）把直線方程和圓的方程聯立后，分別消去x和y得到關于y和x的方程，利用根與系數關系得到α，β的余弦和正弦的積，然后利用和角的三角函數求值．

解答 解：（1）∵${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OB}|sin∠AOB$
∴當△AOB面積最大時，OA⊥OB…（2分）
得O到AB的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$；由d=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得m=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$…（4分）
此時|AB|=2$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$；…（6分）
（2）聯立直線y=2x+m和圓O：x²+y²=1消元得：5x²+4mx+m²-1=0，5y²-2my+m²-4=0，
于是x₁x₂=cosαcosβ=$\frac{{m}^{2}-1}{5}$，y₁y₂=sinαsinβ=$\frac{{m}^{2}-4}{5}$．
所以cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{{m}^{2}-1}{5}$-$\frac{{m}^{2}-4}{5}$=$\frac{3}{5}$，
由題意可知π＜α+β＜2π．
從而sin（α+β）=-$\frac{4}{5}$．…（12分）

點評 本題考查了直線與圓的位置關系，考查了兩角和與差的三角函數，解答的關鍵是注意角的范圍，是中檔題．