Question

2．設常數a＞0，若9x+$\frac{a^2}{4x}$≥a²-4對一切正實數x成立，則a的取值范圍是（　　）

• A． [-1，4]
• B． [-4，1]
• C． （0，1]
• D． （0，4]

Answer 1

分析 利用基本不等式，可得9x+$\frac{{a}^{2}}{4x}$≥3a，從而9x+$\frac{{a}^{2}}{4x}$≥a²-4（a＞0）對一切正實數x成立，轉化為3a≥a²-4，求解不等式即可求出實數a的取值范圍．

解答 解：對一切正實數x，9x+$\frac{{a}^{2}}{4x}$≥$2\sqrt{9x•\frac{{a}^{2}}{4x}}$=3a．
∵9x+$\frac{a^2}{4x}$≥a²-4對一切正實數x成立，
∴3a≥a²-4，即a²-3a-4≤0，得-1≤a≤4．
又a＞0，∴0＜a≤4．
∴實數a的取值范圍是（0，4]．
故選：D．

點評 本題考查基本不等式在最值問題中的應用，考查恒成立問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．