Question

7．已知數列{a_n}中，a₁=5，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2，n∈N^*）
（1）證明：數列{$\frac{{{a_n}-1}}{2^n}$}為等差數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=lg$\frac{{{a_n}-1}}{n}$，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2，n∈N^*）可得：$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1（n≥2，n∈N^*），利用等差數列的定義可證數列{$\frac{{{a_n}-1}}{2^n}$}為等差數列，再求得其首項$\frac{{a}_{1}-1}{{2}^{1}}$=2，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由a_n=（n+1）•2ⁿ+1，b_n=lg$\frac{{{a_n}-1}}{n}$，可求得b_n=lg（n+1）-lgn+nlg2，利用分組求和法可求得數列{b_n}的前n項和S_n．

解答 （1）證明：∵a₁=5，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2，n∈N^*），
a_n-1=2（a_n-1-1）+2ⁿ（n≥2，n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$+1，即$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1，
∴數列{$\frac{{{a_n}-1}}{2^n}$}是公差為1的等差數列，又a₁=5，$\frac{{a}_{1}-1}{{2}^{1}}$=2，
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=2+（n-1）×1=n+1，
∴a_n=（n+1）•2ⁿ+1．
（2）解：∵b_n=lg$\frac{{{a_n}-1}}{n}$=lg$\frac{（n+1{）•2}^{n}}{n}$=lg（n+1）-lgn+nlg2，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=[（lg2-lg1）+（lg3-lg2）+…+（lg（n+1）-lgn）]+lg2•（1+2+3+…+n）
=[lg（n+1）-lg1]+$\frac{n（n+1）}{2}$lg2
=lg（n+1）+$\frac{n（n+1）}{2}$lg2．

點評 本題考查數列的求和，考查等差關系的確定及其通項的求法，突出考查等價轉化思想與分組求和法的應用，屬于中檔題．