Question

12．如圖，在平行四邊形ABCD中，BD=4$\sqrt{3}$，PD⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PBD，二面角P-BC-D為60°
（1）求證：BC⊥BD；
（2）求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）利用反證法：假設BC與PB不垂直，則過點B在平面PBC內作CE⊥PB交直線PB于點E．利用面面垂直的性質定理可得：CE⊥平面PBD，CE⊥PD．可得PD⊥平面PBC．因此平面PBC∥平面ABCD，這與平面PBC∩平面ABCD=BC相矛盾．進而得出原結論成立．
（2）由AD∥BC，可得AD∥平面PBC，點D與點A到平面PBC的距離相等．由（1）可得：∠PBD是二面角P-BC-D的平面角，為60^°．過點D在平面OBD內作DF⊥AB，垂足為F，可得DF⊥平面PBC．利用直角三角形的邊角關系求出即可．

解答 （1）證明：利用反證法：假設BC與PB不垂直，則過點B在平面PBC內作CE⊥PB交直線PB于點E．
∵平面PBC⊥平面PBD，平面PBC∩平面PBD=PB，
∴CE⊥平面PBD，
∴CE⊥PD．
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC．又CE∩CB=C，
∴PD⊥平面PBC．
∴平面PBC∥平面ABCD，
這與平面PBC∩平面ABCD=BC相矛盾．
因此假設不成立，∴BC⊥PB．
又PD⊥平面ABCD．
∴BC⊥BD．
（2）解：∵AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
∴點D與點A到平面PBC的距離相等．
由（1）可得：BC⊥BD，BC⊥PB，
∴∠PBD是二面角P-BC-D的平面角，為60^°．
過點D在平面OBD內作DF⊥AB，垂足為F，
∵平面PBC⊥平面PBD，∴DF⊥平面PBC．
在RT△DFB中，DF=DBsin60°=$4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=6．
∴點D到平面PBC的距離為6．
即點A到平面PBC的距離6．

點評 本題考查了空間位置關系、空間角與空間距離、線面面面平行與垂直的判定定理與性質定理，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．