Question

14．已知F₁、F₂為橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}$=1的左、右焦點，點P在橢圓上，∠F₁PF₂=90°，則|PF₁|•|PF₂|等于（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． 9
• D． 18

Answer 1

分析 根據橢圓的定義及橢圓標準方程求得到|PF₁|+|PF₂|=2a=6，由∠F₁PF₂=90°可得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=（2c）²=20，兩邊平方即可求得|PF₁||PF₂|．

解答 解：∵橢圓方程：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}$=1，
∴a²=9，b²=4，可得c²=a²-b²=5，即a=3，c=$\sqrt{5}$，
設|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵∠F₁PF₂=90°，可得PF₁⊥PF₂，
則有$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2a}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=（2c）^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m+n=6}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=20}\end{array}\right.$，
∴36=20+2mn
得2mn=16，即mn=8，
∴|PF₁|•|PF₂|=8．
故選B．

點評 本題考查橢圓的焦點三角形為直角三角形的性質，考查了勾股定理、橢圓的定義和簡單幾何性質等應用，屬于中檔題．