Question

8．設等差數列{a_n}的公差為d，前n項和為S_n，若a₁=d=1，則$\frac{{{S_n}+8}}{a_n}$的最小值$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 求出等差數列的和與通項公式，然后化簡表達式，利用基本不等式求解即可．

解答 解：等差數列{a_n}的公差為d，前n項和為S_n，若a₁=d=1，
S_n=$\frac{1}{2}$（n²+n），a_n=n，
∴$\frac{{{S_n}+8}}{a_n}=\frac{{{n^2}+n+16}}{2n}=\frac{n}{2}+\frac{8}{n}+\frac{1}{2}≥4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$．當且僅當n=4時取等號．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查數列與不等式的應用，等差數列的通項公式以及求和是的應用，考查轉化思想以及計算能力．