Question

18．已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內接于球O，底面ABCD是正方形，E為AA₁的中點，OA⊥平面BDE，則$\frac{{A{A_1}}}{AB}$=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 以D為原點，建立空間直角坐標系OO-xyz，利用向量法能求出$\frac{A{A}_{1}}{AB}$的值．

解答 解：以D為原點，建立空間直角坐標系O-xyz，
設AB=a，AA₁=c，
則A（a，0，0），E（a，0，$\frac{c}{2}$），D（0，0，0），
B（a，a，0），D（0，0，c），O（$\frac{a}{2}，\frac{a}{2}，\frac{c}{2}$），
$\overrightarrow{DE}$=（a，0，$\frac{c}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（a，a，0），
$\overrightarrow{OA}$=（$\frac{a}{2}，-\frac{a}{2}，-\frac{c}{2}$），
∵OA⊥平面BDE，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{DE}=\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{{c}^{2}}{4}=0}\\{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{DB}=\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{{a}^{2}}{2}=0}\end{array}\right.$，解得c=$\sqrt{2}a$，
∴$\frac{A{A}_{1}}{AB}$=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查線段比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．