Question

9．在平面直角坐標系xoy中，直線l的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=a-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），以O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρcos²θ=sinθ，直線l與曲線C交于M，N兩點（點M在點N的上方）．
（Ⅰ）若a=0，求M，N兩點的極坐標；
（Ⅱ）若P（a，0），且$|PM|+|PN|=8+2\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數t，求得直線l的普通方程，根據x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲線C的直角坐標方程，聯立方程組求出M、N的直角坐標方程，在轉化為極坐標；
（Ⅱ）設M，N對應的參數分別為t₁，t₂，${t_1}+{t_2}=4a+2\sqrt{3}＞0$，${t_1}{t_2}=4{a^2}＞0$即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數）消去參數t，求得直線l的普通方程$\sqrt{3}x+y=0$
根據x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲線C的直角坐標方程為x²=y，…（3分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=y\\ \sqrt{3}x+y=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{3}\\ y=3\end{array}\right.$
∴M，N兩點的極坐標分別為$（2\sqrt{3}，\;\frac{2π}{3}）$、（0，0）…（6分）
（Ⅱ）點P（a，0）顯然在直線l上，
把$\left\{\begin{array}{l}x=a-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（a≥0，t為參數）代入x²=y并化簡，得${t^2}-（4a+2\sqrt{3}）t+4{a^2}=0$．
設M，N對應的參數分別為t₁，t₂，
∵a＞0
∴${t_1}+{t_2}=4a+2\sqrt{3}＞0$，${t_1}{t_2}=4{a^2}＞0$
∴t₁＞0，t₂＞0
∴$|PM|+|PN|={t_1}+{t_2}=4a+2\sqrt{3}=8+2\sqrt{3}$
∴a=2．…（12分）

點評 本題考查了極坐標方程、參數方程、普通方程的轉化，及直線的參數方程中參數的含義，屬于基礎題．