Question

19．在f₁（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$，f₂（x）=x²，f₃（x）=2^x，f₄（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x四個函數中，當x₁＞x₂＞1時，使$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立的函數是f₁（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$．

Answer 1

分析 根據題意，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）表示連接兩點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的線段中點縱坐標小于f（x）在曲線AB中點（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$））的縱坐標，即f（x）的圖象“上凸”，由此判斷出結論即可．

解答 解：當x₁＞x₂＞1時，使$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），
表示連接兩點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的線段中點縱坐標
小于f（x）在曲線AB中點（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$））的縱坐標，
也就是說f（x）的圖象“上凸”的，
所以只需判斷哪個函數的圖象“上凸”即可；
由圖形可直觀得到：當x＞1時，B，C，D 的圖象都不是上凸的，
只有f₁（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{x}$為“上凸”的函數．
故答案為：f₁（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$．

點評 本題考查了基本初等函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題目．