Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，PD=DC，E，F分別是AB，PB的中點．
（1）求證：EF⊥CD；
（2）在平面PAD內求一點G，使FG⊥平面PCB，并證明你的結論；
（3）求三棱錐B-DEF的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出AD⊥DC，PD⊥CD，從而CD⊥平面PAD，進而CD⊥PA，再由EF∥PA，能證明EF⊥CD．
（2）當G為AD的中點時，設BD的中點為O，連接OF，OG，PG，GB．推導出BC⊥平面GFO，從而GF⊥BC，推導出GF⊥PB，由此得到GF⊥平面PCB．
（3）三棱錐B-DEF的體積V_B-DEF=V_F-BDE．由此能求出結果．

解答 （本題滿分14分）
證明：（1）因為底面ABCD是的正方形，所以AD⊥DC．
又PD⊥底面ABCD，所以PD⊥CD．
又AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD，（2分）
又PA?平面PAD，所以CD⊥PA． （4分）
因為E，F分別是AB，PB的中點，所以EF∥PA，（5分）
所以EF⊥CD．  （6分）
解：（2）當G為AD的中點時，FG⊥平面PCB．
證明：設BD的中點為O，連接OF，OG，PG，GB．
因為O，F，G分別是BD，PB，AD的中點，所以FO∥PD，GO∥AB．
因為AB⊥BC，所以GO⊥BC，所以BC⊥平面GFO．  （8分）
又GF?平面GFO，所以GF⊥BC．
因為PD=DC=2，所以$PG=GB=\sqrt{5}$．
又F是PB的中點，所以GF⊥PB，
所以GF⊥平面PCB．  （11分）
（3）∵PD⊥底面ABCD，O，F分別是DB，PB的中點，
∴FO⊥平面BDE，且FO=$\frac{1}{2}$PD=1，
S_△BDE=$\frac{1}{2}×AD×BE=\frac{1}{2}×2×1$=1，
∴三棱錐B-DEF的體積${V_{B-DEF}}={V_{F-BDE}}=\frac{1}{3}{S_{△BDE}}•（\frac{1}{2}PD）=\frac{1}{3}$．  （14分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查滿足條件的點的位置的確定，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．