Question

8．已知m為實數(shù)，函數(shù)f（x）=$\frac{2m}{3}$x³+x²-3x-mx+2，g（x）=f′（x），f′（x）是f（x）的導函數(shù)．
（1）當m=1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若g（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（2）m=0時，不合題意，m≠0時，根據(jù)二次函數(shù)的性質得到關于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{2m}{3}$x³+x²-3x-mx+2，
得f′（x）=2mx²+2x-3-m，
m=1時，f′（x）=2（x+2）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜1，
故f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-2，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）由（1）得g（x）=2mx²+2x-3-m，
若g（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點，
則方程g（x）=2mx²+2x-3-m=0在[-1，1]上有解，
m=0時，g（x）=2x-3在[-1，1]上沒有零點，故m≠0，
方程g（x）=2mx²+2x-3-m=0在[-1，1]上有解等價于
g（-1）•g（1）≤0或$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≥0}\\{g（1）≥0}\\{△=4+8m（3+m）≥0}\\{-1≤-\frac{1}{2m}≤1}\end{array}\right.$，
解得：1≤m≤5或m≤$\frac{-3-\sqrt{7}}{2}$或m≥5，
故m的范圍是（-∞，$\frac{-3-\sqrt{7}}{2}$]∪[1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性問題，考查導數(shù)的應用以及二次函數(shù)的性質、考查轉化思想，函數(shù)的零點問題，是一道中檔題．