Question

3．定義在（0，+∞）的函數f（x）滿足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，則$\frac{f（2）}{f（1）}$的取值范圍是（2⁹，2¹⁰）．

Answer 1

分析 根據條件分別構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{9}}$和h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{10}}$，分別求函數的導數，研究函數的單調性進行求解即可．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{9}}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）{x}^{9}-f（x）9{x}^{8}}{（{x}^{9}）^{2}}$=$\frac{xf′（x）-9f（x）}{{x}^{10}}$，
∵9f（x）＜xf'（x），
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-9f（x）}{{x}^{10}}$＞0，
即g（x）在（0，+∞）上是增函數，
則g（2）＞g（1），
即$\frac{f（2）}{{2}^{9}}$＞$\frac{f（1）}{{1}^{9}}$，則$\frac{f（2）}{f（1）}$＞2⁹，
同理設h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{10}}$，
∴h′（x）=$\frac{f′（x）{x}^{10}-f（x）•10{x}^{9}}{（{x}^{10}）^{2}}$=$\frac{xf′（x）-10f（x）}{{x}^{11}}$，
∵xf'（x）＜10f（x），
∴h′（x）=$\frac{xf′（x）-10f（x）}{{x}^{11}}$＜0，
即h（x）在（0，+∞）上是減函數，
則h（2）＜h（1），
即$\frac{f（2）}{{2}^{10}}$＜$\frac{f（1）}{{1}^{10}}$，則$\frac{f（2）}{f（1）}$＜2¹⁰，
綜上2⁹＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜2¹⁰，
故答案為：（2⁹，2¹⁰）

點評 本題主要考查函數取值范圍的求解，根據條件分別構造兩個函數，利用函數單調性和導數之間的關系進行轉化是解決本題的關鍵．