Question

已知f（x）是二次函數，不等式f（x）＜0的解集為（0，5），且f（x）在區間[-1，4]上的最大值為12．
（1）求f（x）的解析式； 
（2）若f（x）在區間[a，a+1]上單調，求實數a的取值范圍；
（3）當x∈[-1，1]時，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m+1的圖象上方，試確定實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數在閉區間上的最值,函數解析式的求解及常用方法,函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：（1）不等式f（x）＜0的解集為（0，5），得出f（x）=m（x-5）x，m＞0，f（x）在區間[-1，4]上的最大值為12．f（-1）=12，即可求出解析式．
（2）根據對稱軸x=

5

2

，單調性判斷得出a≥

5

2

或a+1≤

5

2

，可得答案．
（3）轉化為2x²-12x-1＞m，在x∈[-1，1]時恒成立，令k（x）=2x²-12x-1，x∈[-1，1]，單調遞減，轉為最值來研究恒成立問題．

解答： 解：（1）∵f（x）是二次函數，不等式f（x）＜0的解集為（0，5），
∴f（x）=m（x-5）x，m＞0，對稱軸x=

5

2

∵f（x）在區間[-1，4]上的最大值為12，
∴f（-1）=12，
∴m=2，
∴f（x）=2x²-10x，
（2）∵f（x）在區間[a，a+1]上單調，
∴a≥

5

2

或a+1≤

5

2

，
即a≥

5

2

或a≤

3

2

，
故實數a的取值范圍：a≥

5

2

或a≤

3

2

，
（3）∵當x∈[-1，1]時，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m+1的圖象上方，
∴2x²-12x-1＞m，在x∈[-1，1]時恒成立，
令k（x）=2x²-12x-1，x∈[-1，1]，單調遞減
∴k（x）≥k（1）=-11，
m＜-11，
故實數m的取值范圍：m＜-11．

點評：本題考查二次函數的解析式，對稱性，單調性，最大值，最小值，不等式恒成立問題，屬于對二次函數的綜合題．