Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，E，F為PC的三等分點．
（Ⅰ）證明：AC⊥PB；
（Ⅱ）若PD=

3

，AD=2，∠BAD=60°，求二面角P-BC-A的大小；
（Ⅲ）在直線PB上是否存在一點G，使平面BDE∥平面AFG？說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得PD⊥AC，AC⊥BD，從而AC⊥平面PBD，由此能證明AC⊥PB．
（Ⅱ）取BC中點H，連接HD，HC，由已知得∠PHD為二面角P-BC-A的平面角，由此能求出二面角P-BC-A的大小．（Ⅲ）當G為PB中點時，連接FG，AG，設AC∩BD=O，連接OE，由已知得平面BDE∥平面AFG，由此能證明當G為PB中點時，平面BDE∥平面AFG．

解答： （Ⅰ）證明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，
又四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，又PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
又PB?平面PBD，∴AC⊥PB．…（4分）
（Ⅱ）解：取BC中點H，連接HD，HC，
由四邊形ABCD為菱形，且∠BAD=60°，
得△BCD為等邊三角形，∴HD⊥BC，PH⊥BC，
∴∠PHD為二面角P-BC-A的平面角，…（6分）
在Rt△PDH中，∠PDH=90°，PD=DH=

3

，
∴∠PHD=45°，即二面角P-BC-A的大小為45°．…（8分）
（Ⅲ）解：當G為PB中點時，平面BDE∥平面AFG．下證：
當G為PB中點時，連接FG，AG，設AC∩BD=O，連接OE，
∵F，G分別是PE，PB的中點，
∴FG∥EB，且FG?平面BDE，EB?平面BDE，
∴FG∥平面BDE，同理，AF∥平面BDE，
又AF∩FG=F，∴平面BDE∥平面AFG，
∴當G為PB中點時，平面BDE∥平面AFG．  …（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，考查平面與平面平行的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．