Question

在平面直角坐標系xOy中，A、B兩點的坐標分別為（0，1）、（0，-1），動點P滿足直線AP與直線BP的斜率之積為-

1

4

，直線AP、BP與直線y=-2分別交于點M、N．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）求線段MN的最小值；
（3）以MN為直徑的圓是否經過某定點？若經過定點，求出定點的坐標；若不經過定點，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設動點P（x，y），由k₁•k₂=-

1

4

，得

y-1

x

×

y+1

x

=-

1

4

，由此能求出動點P的軌跡方程．
（2）設直線AP的方程為y-1=k₁（x-0），直線BP的方程為y+1=k₂（x-0），由

y-1=k1x y=-2

，得M（-

3

k1

，-2），由

y+1=k2x y=-2

，得N（-

1

k2

，-2），由此能求出線段MN長的最小值．
（3）設點Q（x，y）是以MN為直徑的圓的任意一點，則(x+

3

k1

)(x+

1

k2

)+(y+2)(y+2)=0，由此能求出以MN為直徑的圓過定點（0，-2+2

3

）或（0，-2-2

3

）．

解答： 解：（1）設動點P（x，y），∵A（0，1），B（0，-1），
∴直線AP的斜率k₁=

y-1

x

，直線BP的斜率k2=

y+1

x

，
又k₁•k₂=-

1

4

，∴

y-1

x

×

y+1

x

=-

1

4

，
∴動點P的軌跡方程為

x2

4

+y2=1（x≠0）．
（2）設直線AP的方程為y-1=k₁（x-0），
直線BP的方程為y+1=k₂（x-0），
由

y-1=k1x y=-2

，得

x=- 3 k1 y=-2

，∴M（-

3

k1

，-2），
由

y+1=k2x y=-2

，得

x=- 1 k2 y=-2

，∴N（-

1

k2

，-2），
由k1×k2=-

1

4

，得|MN|=|

3

k1

-

1

k2

|=|

3

k1

+4k1|≥2

3 |k1| ×4|k1|

=4

3

，
當且僅當

3

|k1|

=4|k1|，即k1=±

3

2

時，等號成立，
∴線段MN長的最小值為4

3

．
（3）設點Q（x，y）是以MN為直徑的圓的任意一點，則

QM

•

QN

=0，
即(x+

3

k1

)(x+

1

k2

)+(y+2)(y+2)=0，
又k₁k₂=-

1

4

，
∴以MN為直徑的圓的方程為x2+(

3

k1

-4k1)x+(y+2)2-12=0，
令x=0，得（y+2）²=12，解得y=-2±2

3

，
∴以MN為直徑的圓過定點（0，-2+2

3

）或（0，-2-2

3

）．

點評：本題考查動點P的軌跡方程的求法，考查線段MN的最小值的求法，考查滿足條件的定點的坐標是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．