Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面，且AB=2，BC=1，PA=2，E為PD的中點．
（1）求證：面PAB⊥面PBC；
（2）求二面角E-AC-D的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得AB⊥BC，BC⊥PB，BC⊥PA，從而BC⊥平面PAB，由此能證明面PAB⊥面PBC．
（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-AC-D的正切值．

解答： （1）證明：∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，
∴AB⊥BC，∴BC⊥PB，
∵BC?平面ABCD，∴BC⊥PA，
∵PB∩PA=P，∴BC⊥平面PAB，
∵BC?平面PBC，
∴面PAB⊥面PBC．
（2）解：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，
AP為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），
E（1，0，1），C（2，1，0），D（0，1，0），

AE

=（1，0，1），

AC

=（2，1，0），
設平面EAC的法向量

n

=（x，y，z），

n • AE =x+z=0 n • AC =2x+y=0

，取x=1，得

n

=（1，-2，-1），
由已知得平面ACD的法向量

m

=（0，0，1），
設二面角E-AC-D的平面角為θ，
則cosθ=cos＜

n

，

m

＞=

-1

6

=-

6

6

，
∴sinθ=

1- 1 6

=

30

6

，
∴二面角E-AC-D的正切值tanθ=

sinθ

cosθ

=

30 6

- 6 6

=-

5

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．