Question

若x₀是函數y=f（x）的極值點，同時也是其導函數y=f′（x）的極值點，則稱x₀是函數y=f（x）的“致點”．
（Ⅰ）已知a＞0，求函數f（x）=（x²+ax+1）e^x的極值和單調區間；，
（Ⅱ）函數f（x）=（x²+ax+1）e^x是否有“致點”？若有，求出“致點”；若沒有，試說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（I）利用導數的運算法則可得f′（x），分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0即可得出單調區間；
（Ⅱ）根據新定義，令g（x）=f′（x），假設假設f（x）有“致點”為x₀，求出“致點”，再根據函數極值求需要a≠0，分別得出a=0，相矛盾，故函數f（x）無“致點”．

解答： 解  （Ⅰ）f′（x）=（x²+ax+1）e^x+（2x+a）e^x=）=（x²+ax+1+2x+a）e^x=（x+a+1）（x+1）e^x，
∵a＞0，
∴-a-1＜-1．
∴當x∈（-∞，-a-1）時，f′（x）＞0；當x∈（-a-1，-1）時，f′（x）＜0；當x∈（-1，+∞）時，f′（x）＞0；
所以，f（x）單調遞增區間為（-∞，-a-1）和∈（-1，+∞），單調遞減區間為（-a-1，-1），
且當x=-1時，f（x）有極小值（2-a）e^-1，當x=-a-1時，f（x）有極大值（a+2）e^-a-1，．
（2）由（1）知，f′（x）=（x+a+1）（x+1）e^x，
令g（x）=f′（x），
則g′（x）=[x²+（a+4）x+2a+3]e^x，
假設f（x）有“致點”為x₀，
則x₀首先應是f（x）的極值點，即f′（x₀）=0，∴x₀=-1或x₀=-a-1
當a=0時，-a-1=-1，此時f′（x₀）≥0恒成立，f（x）無極值．
∴要使f（x）有極值，須a≠0                                                     
若x₀=-1，則由題意可知g′（-1）=0，∴1-（a+4）+2a+3=0解得：a=0與a≠0矛盾，即-1不是f（x）的“致點”，
若x₀=-a-1，則由題意可知g′（-a-1）=0，∴（a+1）-（a+4）（a+1）+2a+3=0解得：a=0與a≠0矛盾，即-a-1不是f（x）的“致點”，
∴函數f（x）無“致點”．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、極值與最值、函數在某個區間上的取值范圍等基礎知識與基本方法，屬于難題．