Question

已知x滿足不等式2（log

1

2

x）²+3≤log

1

2

x⁷，求函數f（x）=log

1

2

（2x）•log

1

2

（4x）的最值及相應的x的取值．

Answer 1

考點：指、對數不等式的解法,二次函數在閉區間上的最值

專題：不等式的解法及應用

分析：令t=log

1

2

x，由條件可得（2t-1）（t-3）≤0，求得t的范圍，可得x的范圍．由函數f（x）=g（t）=（-1+t）（-2+t）=(t-

3

2

)2-

1

4

，再利用二次函數的性質求得f（x）的最值及相應的x的取值．

解答： 解：不等式2（log

1

2

x）²+3≤log

1

2

x⁷，等價于 2（log

1

2

x）²+3-7log

1

2

x≤0，令t=log

1

2

x，
∴（2t-1）（t-3）≤0，∴

1

2

≤t≤3，∴

1

8

≤x≤

2

2

．
則函數f（x）=log

1

2

（2x）•log

1

2

（4x）=g（t）=（-1+t）（-2+t）=(t-

3

2

)2-

1

4

，
故當t=

3

2

，即x=

2

4

時，f（x）=g（t）取得最小值為-

1

4

；當t=3，即x=

1

8

時，f（x）=g（t）取得最大值為2．

點評：本題主要考查對數不等式的解法，二次函數的性質，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．