Question

已知函數f（x）=

x2+2x+a

x

（x＞1，a為常數）．
（1）若對任意x＞1，都有f（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

考點：基本不等式,函數單調性的判斷與證明

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）由題意可得，x＞1時，a＞-x（x+2）．再根據x＞1時，-x（x+2）＜-3，由此求得a的范圍．
（2）分當a≤0時、當0＜a≤1時、當a＞1時三種情況，分別研究函數f（x）的單調性，可得結論．

解答： 解：（1）由于函數f（x）=

x2+2x+a

x

（x＞1，a為常數），f（x）＞0恒成立，∴a＞-x（x+2）．
∵x＞1時，-x（x+2）＜-3，∴a≥-3．
（2）f（x）=x+

a

x

+2，當a≤0時，f（x）=x+

a

x

+2在它的定義域（1，+∞）上是增函數．
①當0＜a≤1時，由于函數f（x）=x+

a

x

+2，令f′（x）=1-

a

x2

=0，求得x=

a

，或x=-

a

（舍去）．
根據f′（x）的符號可得在它的定義域（

a

，+∞）上是增函數，故函數f（x）=x+

a

x

+2在它的定義域（1，+∞）上是增函數，
故f（x）的增區間為（1，+∞），沒有減區間．
②當a＞1時，f（x）=x+

a

x

+2在（1，

a

）上是減函數，f（x）=x+

a

x

+2在它的定義域（

a

，+∞）上是增函數，
故函數的增區間為（

a

，+∞），減區間為（1，

a

）．

點評：本題主要考查函數的單調性的應用，函數的恒成立問題，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于基礎題．