Question

設f（x）=e^x（ax²+3），其中a為實數．
（1）當a=-1時，求f（x）的極值；
（2）若f（x）為[1，2]上的單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）當a=-1時，有f（x）=e^x（-x²+3），求導確定函數的單調性，由單調性求極值；
（2）要使f（x）為[1，2]上的單調函數，則f′（x）=e^x（ax²+2ax+3）≥0或f′（x）=e^x（ax²+2ax+3）≤0恒成立，從而轉化為最值問題．

解答： 解：（1）當a=-1時，有f（x）=e^x（-x²+3），
f′（x）=e^x（-x²+3）-2xe^x
=-e^x（x+3）（x-1），
由f′（x）＞0得，x∈（-3，1），
故f（x）在（-3，1）上單調遞增，
由f′（x）＜0得，x∈（-∞，-3），（1，+∞），
故f（x）在（-∞，-3），（1，+∞），上單調遞減，
∴f_極小值（x）=f（-3）=-6e^-3，f_極小值（x）=f（1）=2e．
（2）要使f（x）為[1，2]上的單調函數，
則f′（x）=e^x（ax²+2ax+3）≥0或
f′（x）=e^x（ax²+2ax+3）≤0恒成立，
即a≥（

-3

x2+2x

）_max=-

3

8

，
或a≤（

-3

x2+2x

）_min=-1，
故a≥-

3

8

或a≤-1．

點評：本題考查了導數的綜合應用，同時考查了恒成立問題的處理方法，屬于中檔題．