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已知函數f(x)=
2x+1
x+2
(x≠2,x∈R),數列{an}滿足a1=t(t≠-2,t∈R),an+1=f(an),(n∈N)
(Ⅰ)若數列{an}是常數列,求t的值;
(Ⅱ)當a1=2時,記bn=
an+1
an-1
(n∈N*),證明:數列{bn}是等比數列,并求出通項公式an
考點:等比數列的前n項和,等比關系的確定
專題:等差數列與等比數列
分析:(Ⅰ)由數列{an}是常數列,知an+1=an,解方程即得t的值;
(Ⅱ)由bn=
an+1
an-1
(n∈N*),由an+1=f(an)再化簡整理,得bn+1=3bn,可證{bn}是等比數列,先求出{bn}的通項,再求通項公式an
解答: 解  (Ⅰ)∵數列{an}是常數列,∴an+1=an,即t=
2t+1
t+2
,解得t=-1,或t=1.
∴所求實數的值是1或-1.   
(Ⅱ)∵a1=2時,記bn=
an+1
an-1

∴b1=3,bn+1=
an+1+1
an+1-1
=
2an+1
an+2
+1
2an+1
an+2
-1
=3•
an+1
an-1

即bn+1=3bn.       
∴數列{bn}是以b1=3為首項,公比為q=3的等比數列,于是bn=3×3n-1=3n(n∈N*),
由bn=
an+1
an-1
(n∈N*),即
an+1
an-1
=3n(n∈N*),
解得an=
3n+1
3n-1

∴所求的通項公式an=
3n+1
3n-1
.(n∈N*
點評:本題考查了常數列,等比數列的通項公式,以及方程的思想,轉化能力和計算能力,屬于中檔題
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

設f(x)=ex(ax2+3),其中a為實數.
(1)當a=-1時,求f(x)的極值;
(2)若f(x)為[1,2]上的單調函數,求a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

若直線y=kx+1(k∈R)與焦點在x軸上的橢圓
x2
7
+
y2
a2
=1(a>0)恒有公共點,則實數a的取值范圍是(  )
A、0<a≤1
B、0<a<
7
C、1≤a<
7
D、1<a≤
7

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科目:高中數學 來源: 題型:

某辦公用品銷售商店推出兩種優惠方法:①購1個書包,贈送1支水性筆;②購書包和水性筆一律按9折優惠.書包每個定價20元,水性筆每支定價5元.小麗和同學需買4個書包,水性筆若干支(不少于4支).
(1)分別寫出兩種優惠方法購買費用y(元)與所買水性筆支數x(支)之間的函數關系式;
(2)對x的取值情況進行分析,說明按哪種優惠方法購買比較便宜;
(3)小麗和同學需買這種書包4個和水性筆12支,請你設計怎樣購買最經濟.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在地面上某處測的山峰的仰角為θ,對著山峰在地面上前進600M后,測得仰角為2θ,繼續前進200
3
m后有測得仰角為4θ,則山的高度為(  )
A、200B、300
C、400D、500

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科目:高中數學 來源: 題型:

設P,Q分別為直線
x=1+
4
5
t
y=1+
3
5
t
(t為參數)和曲線C:ρ=
2
cos(θ+
π
4
)
上的點,則|PQ|的最小值為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

數列{an}滿足a1+
a2
2
+
a3
3
+…+
an
n
=3n-2(n∈N*,n≥1),則an=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

若二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(-2,0),B(4,0),且函數的最大值為9,求這個二次函數的表達式.

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科目:高中數學 來源: 題型:

等比數列{an}的前n項和為Sn,若S4=6,S8=18,則S12=(  )
A、42B、78C、96D、104

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同步練習冊答案
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