Question

2．設三個數$\sqrt{{{（x-\sqrt{2}）}^2}+{y^2}}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{{{（x+\sqrt{2}）}^2}+{y^2}}$成等差數列，記（x，y）對應點的曲線是R．
（Ⅰ）求曲線△PQR的方程；
（Ⅱ）已知點M（1，0），點N（3，2），點P（m，n）（m≠3），過點M任作直線l與曲線C相交于A，B兩點，設直線AN，BN，PN的斜率分別為k₁，k₂，k₃，若k₁+k₂=2k₃，求m，n滿足的關系式．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列性質可以得到曲線為橢圓，進而可以得到橢圓方程；
（2）分情況討論，當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，聯立橢圓方程可得到交點坐標，進而計算出斜率k₁和k₂；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），設交點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理和直線方程即可計算k₁+k₂，得到k₁，即可得到m，n的關系式．

解答 解：（1）依題意：$\sqrt{{{（{x-\sqrt{2}}）}^2}+{y^2}}+\sqrt{{{（x+\sqrt{2}）}^2}+{y^2}}=2\sqrt{3}$，
所以點P（x，y）對應的曲線方程$\left\{\begin{array}{l}\;2b=2\\ \;\;\;\;c=\sqrt{3}\;b\\ \;\;{b^2}+{c^2}={a^2}，\;\end{array}\right.$是橢圓，則可$得\;\left\{\begin{array}{l}\;a=\sqrt{3}\\ c=\sqrt{2}.\end{array}\right.$．
故b=1，
橢圓C方程為$\frac{x2}{3}$+y²=1；
（2）①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1．由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=±\frac{\sqrt{6}}{3}.\end{array}$，
不妨設A（1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（1，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
因為k₁+k₂=$\frac{2-\frac{\sqrt{6}}{3}}{2}$+$\frac{2+\frac{\sqrt{6}}{3}}{2}$=2，且k₁+k₂=2k₃，
∴k₃=1，
∴m，n滿足的關系式為$\frac{n-2}{m-3}$=1，即m-n-1=0．
②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$，
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴k₁+k₂=$\frac{2-{y}_{1}}{3-{x}_{1}}$+$\frac{2-{y}_{2}}{3-{x}_{2}}$，
=$\frac{（2-{y}_{1}）（3-{x}_{2}）+（2-{y}_{2}）（3-{x}_{1}）}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}$，
=$\frac{[2-k（{x}_{1}-x）]（3-{x}_{2}）+[2-k（{x}_{2}-1）]（3-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$，
=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-（4k+2）（{x}_{1}+{x}_{2}）+6k+12}{{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$，
=$\frac{2k×\frac{3{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}-（4k+2）×\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}+6k+12}{\frac{3{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}-3×\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}+9}$=$\frac{2（12{k}^{2}+6）}{12{k}^{2}+6}$=2，
∴m，n滿足的關系式為m-n-1=0，
綜上所述，m，n滿足的關系式為m-n-1=0．

點評 本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．