Question

14．已知圓C：x²+y²-2x-4y+3=0，直線l：y=kx，直線l與圓C交于A，B兩點，點M的坐標為（0，m），且滿足$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$．
（1）當m=1時，求k的值；
（2）當$m∈（1，\frac{3}{2}）$時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當m=1時，點M（0，m）在圓C上，當且僅當直線l經過圓心C時，滿足$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，把圓心坐標（1，2）代入直線l：y=kx，可得k的值；
（2）把直線l的方程代入圓的方程轉化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系以及$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，求得$\frac{2k（2k+1）}{{k}^{2}+1}$=$\frac{3}{m}$+m∈（$\frac{7}{2}$，4），解此不等式求得k的取值范圍．

解答 解：（1）將圓C轉化成標準方程：（x-1）²+（y-2）²=2，
當m=1時，點M（0，1）在圓C上，
當且僅當直線l經過圓心C時，滿足$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，即MA⊥MB．
∵圓心C的坐標為（1，2），
∴k=2．
（2）由 $\left\{\begin{array}{l}y=kx\\{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+3=0\end{array}\right.$，
消去y得：（k²+1）x²-（4k+2）x+3=0，①
設P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\frac{2（2k+1）}{{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{3}{{k}^{2}+1}$，
∵$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，即（x₁，y₁-m）（x₂，y₂-m）=0，即x₁•x₂+（y₁-m）（y₂-m）=0，
∵y₁=kx₁，y₂=kx₂，
∴（1+k²）x₁•x₂-km（x₁+x₂）+m²=0，
∴（1+k²）•$\frac{3}{{k}^{2}+1}$-km•$\frac{2（2k+1）}{{k}^{2}+1}$+m²=0，
即 $\frac{2k（2k+1）}{{k}^{2}+1}$=$\frac{3}{m}$+m，
∵$m∈（1，\frac{3}{2}）$，
∴$\frac{3}{m}$+m∈（$\frac{7}{2}$，4），
∴$\frac{2k（2k+1）}{{k}^{2}+1}$∈（$\frac{7}{2}$，4），
解得：-2+$\sqrt{11}$＜k＜2或k＜-2-$\sqrt{11}$．

點評 本題考查直線和圓相交的性質，一元二次方程根與系數的關系，一元二次不等式的解法，函數的單調性及最值，考查計算能力，屬于難題．