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15.已知定義在(0,+∞)的函數f(x),其導函數為f′(x),滿足:f(x)>0且$\frac{2x+3}{x}>-\frac{{{f^'}(x)}}{f(x)}$總成立,則下列不等式成立的是(  )
A.e2e+3f(e)<eπ3f(π)B.e2e+3f(π)>eπ3f(e)C.e2e+3f(π)<eπ3f(e)D.e2e+3f(e)>eπ3f(π)

分析 令g(x)=e2xx3f(x),g′(x)=)=e2xx2[(2x+3)f(x)+xf′(x)]>0,⇒g(x)=e2xx3f(x)在(0,+∞)上單調遞增⇒g(e)<g(π),即可得到.

解答 解:∵f(x)>0且$\frac{2x+3}{x}>-\frac{{{f^'}(x)}}{f(x)}$總成立,∴(2x+3)f(x)+xf′(x)>0.
令g(x)=e2xx3f(x),g′(x)=)=e2xx2[(2x+3)f(x)+xf′(x)]>0,
∴g(x)=e2xx3f(x)在(0,+∞)上單調遞增,∴g(e)<g(π),
∴e2e+3f(e)<eπ3f(π),故選:A.

點評 本題考查了構造新函數,處理不等式問題,屬于壓軸題.

練習冊系列答案
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(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程;
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(1)求函數f(x)的最小正周期和單調減區間;
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20.如圖,以AC=2為直徑的⊙B,點E為$\widehat{AC}$的中點,點D在直徑AC延長線上,CD=1,FC⊥平面BED,FC=2.
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4.下列四個命題中:
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②“若k>0,則方程x2+2x-k=0有實根”的逆否命題;
③“全等三角形的面積相等”的否命題;
④“若ab≠0,則a≠0”的否命題.
其中真命題的序號是(  )
A.②、③B.③、④C.①、④D.①、②

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5.在平面直角坐標系xOy中,F是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a>b>0)的左焦點,點P在橢圓上,直線PF與以OF為直徑的圓相交于點M(異于點F),若點M為PF的中點,且直線PF的斜率為$\sqrt{3}$,則橢圓的離心率為$\sqrt{3}$-1.

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