Question

20．如圖，以AC=2為直徑的⊙B，點E為$\widehat{AC}$的中點，點D在直徑AC延長線上，CD=1，FC⊥平面BED，FC=2．
（Ⅰ）證明：EB⊥FD；
（Ⅱ）求點B到平面FED的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：EB⊥平面FBD，即可證明EB⊥FD；
（Ⅱ）在平面FCH內過C作CK⊥FH，則CK⊥平面FED．即可求點B到平面FED的距離．

解答 （Ⅰ）證明：∵FC⊥平面BED，BE?平面BED，∴EB⊥FC．
又點E為$\widehat{AC}$的中點，B為直徑AC的中點，∴EB⊥BC．
又∵FC∩BC=C，∴EB⊥平面FBD．
∵FD?平面FBD，∴EB⊥FD．
（Ⅱ）解：如圖，在平面BEC內過C作CH⊥ED，連接FH．

則由FC⊥平面BED知，ED⊥平面FCH．
∵Rt△DHC∽Rt△DBE，∴$\frac{DC}{DE}$=$\frac{CH}{BE}$．
在Rt△DBE中，DE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CH=$\frac{DC•BE}{DE}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
在平面FCH內過C作CK⊥FH，則CK⊥平面FED．
∵FC=2．∴FH²=FC²+CH²=$\frac{21}{5}$，∴FH=$\frac{\sqrt{105}}{5}$．
∴CK=$\frac{FC•CH}{FH}$=$\frac{2\sqrt{21}}{21}$．
∵C是BD的中點，∴B到平面FED的距離為2CK=$\frac{4\sqrt{21}}{21}$．

點評 本題考查線面平行的判定與性質，考查點到平面距離的計算，屬于中檔題．