Question

6．已知函數$f（x）=cos（2x+\frac{2π}{3}）+2{cos^2}x$，
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調減區間；
（2）將函數f（x）圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位長度后得到函數g（x）的圖象，求函數g（x）在區間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，利用余弦函數的周期性、單調性，求得函數f（x）的最小正周期和單調減區間．
（2）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函數的定義域和值域，求得函數g（x）在區間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

解答 解：（1）∵函數$f（x）=cos（2x+\frac{2π}{3}）+2{cos^2}x$=cos2xcos$\frac{2π}{3}$-sin2xsin$\frac{2π}{3}$+cos2x+1
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=cos（2x+$\frac{π}{3}$），故它的最下坐正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，故函數f（x）的減區間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）將函數f（x）圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位長度后得到函數g（x）=cos[2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$）]=cos（2x-$\frac{π}{3}$） 的圖象，
在區間[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，故當 2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$時，函數g（x）取得最小值為-$\frac{1}{2}$+1=$\frac{1}{2}$，

點評 本題主要考查三角恒等變換，余弦函數的周期性、單調性，定義域和值域，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，屬于基礎題．