Question

5．在平面直角坐標系xOy中，F是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左焦點，點P在橢圓上，直線PF與以OF為直徑的圓相交于點M（異于點F），若點M為PF的中點，且直線PF的斜率為$\sqrt{3}$，則橢圓的離心率為$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 由C為OF的中點，則OM為△FOP的中位線，丨OP丨=2丨OM丨=c，∠PFO=60°，△FPO為等邊三角形，邊長為c，P（-$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），代入橢圓方程：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，由b²=a²-c²，e=$\frac{c}{a}$，0＜e＜1，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：由題意可知：C為OF的中點，則OM為△FOP的中位線，
丨OP丨=2丨OM丨=2丨OC丨=丨OF丨=c，
且直線PF的斜率為$\sqrt{3}$，則∠PFO=60°，
∴△FPO為等邊三角形，邊長為c，
則P（-$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），代入橢圓方程：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，
由b²=a²-c²，e=$\frac{c}{a}$，
則e⁴-8e²+4=0，解得：e²=4±2$\sqrt{3}$，
由0＜e＜1，
解得：e=$\sqrt{3}$-1，
橢圓的離心率$\sqrt{3}$-1，
故答案為：$\sqrt{3}$-1．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，三角形中位線的性質，考查數形結合思想，屬于中檔題．