Question

8．已知直線l過點（1，0）且傾斜角為α，在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線M的方程為ρsin²θ+4cosθ=0．
（1）寫出曲線M的直角坐標方程及直線l的參數方程；
（2）若直線l與曲線M只有一個公共點，求傾斜角α的值．

Answer 1

分析 （1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出M的直角坐標方程；利用直線l過點（1，0）且傾斜角為α，可得直線l的參數方程；
（2）設直線方程為y=k（x-1），代入y²=-4x，可得k²x²-（2k²-4）x+k²=0，分類討論，利用直線l與曲線M只有一個公共點，求傾斜角α的值．

解答 解：（1）x=ρcosθ，y=ρsinθ，
由ρsin²θ+4cosθ=0得ρ²sin²θ=-4ρcosθ．
∴y²=-4x即為曲線M的直角坐標方程； 
直線l過點（1，0）且傾斜角為α，故直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數）；
（2）設直線方程為y=k（x-1），代入y²=-4x，可得k²x²-（2k²-4）x+k²=0
①k=0，y=0，滿足題意，α=0；
②$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{（2{k}^{2}-4）^{2}-4{k}^{4}=0}\end{array}\right.$，∴k=±1，∴α=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線參數方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．