Question

13．若定義域為R的函數f（x）滿足：對任意兩個不相等的實數x₁，x₂，都有$\frac{{{x_2}f（{x_1}）-{x_1}f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，記：a=4f（0.25），b=0.5f（2），c=0.2f（5），則（　　）

• A． a＞b＞c
• B． c＞a＞b
• C． b＞a＞c
• D． c＞b＞a

Answer 1

分析 ∴對任意兩個不等的正實數x₁，x₂，都有$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（\frac{1}{{x}_{1}}f（{x}_{1}）-\frac{1}{{x}_{2}}f（{x}_{2}））}{{x}_{1}-{x}_{2}}＜0$⇒$\frac{\frac{1}{{x}_{1}}f（{x}_{1}）-\frac{1}{{x}_{2}}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＜0$，令g（x）=$\frac{1}{x}f（x）$，易得g（x）在（0，+∞）上遞減即可．

解答 解：定義域為R的函數f（x）滿足：對任意兩個不等的實數x₁，x₂，都有$\frac{{{x_2}f（{x_1}）-{x_1}f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，
∴對任意兩個不等的正實數x₁，x₂，都有$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（\frac{1}{{x}_{1}}f（{x}_{1}）-\frac{1}{{x}_{2}}f（{x}_{2}））}{{x}_{1}-{x}_{2}}＜0$⇒$\frac{\frac{1}{{x}_{1}}f（{x}_{1}）-\frac{1}{{x}_{2}}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＜0$，
令g（x）=$\frac{1}{x}f（x）$，易得g（x）在（0，+∞）上遞減，a=4f（0.25）=g（0.25），b=0.5f（2）=g（2），c=0.2f（5）=g（5），
∴g（0.25）＞g（2）＞g（5），⇒a＞b＞c．故選：A．

點評 本題考查了構造新函數，函數的單調性的運用，屬于基礎題．