Question

18．如圖，已知A，B兩鎮分別位于東西湖岸MN的A處和湖中小島的B處，點C在A的正西方向1km處，tan∠BAN=$\frac{3}{4}$，∠BCN=$\frac{π}{4}$，現計劃鋪設一條電纜聯通A，B兩鎮，有兩種鋪設方案：①沿線段AB在水下鋪設；②在湖岸MN上選一點P，先沿線段AP在地下鋪設，再沿線段PB在水下鋪設，預算地下、水下的電纜鋪設費用分別為2萬元∕km、4萬元∕km．
（1）求A，B兩鎮間的距離；
（2）應該如何鋪設，使總鋪設費用最低？

Answer 1

分析 （1）由tan∠BAN=$\frac{3}{4}$，∠BCN=$\frac{π}{4}$，得到|AD|，|DB|、|AB|間的關系，然后利用直角三角形的性質求解；
（2）方案①：總鋪設費用為5×4=20（萬元）．
方案②：設∠BPD=θ，則$θ∈（{θ_0}，\frac{π}{2}）$，其中θ₀=∠BAN，
在Rt△BDP中，$DP=\frac{BD}{tanθ}=\frac{3}{tanθ}$，$BP=\frac{BD}{sinθ}=\frac{3}{sinθ}$，
則總鋪設費用為$2AP+4BP=8-\frac{6}{tanθ}+\frac{12}{sinθ}=8+6•\frac{2-cosθ}{sinθ}$．
設$f（θ）=\frac{2-cosθ}{sinθ}$，則$f'（θ）=\frac{{{{sin}^2}θ-（2-cosθ）cosθ}}{{{{sin}^2}θ}}=\frac{1-2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$，
，求出函數的極小值，即函數的最小值得答案．

解答 解：（1）過B作MN的垂線，垂足為D，如圖示：
在Rt△ABD中，$tan∠BAD=tan∠BAN=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{4}$，
所以$AD=\frac{4}{3}BD$，
在Rt△BCD中，$tan∠BCD=tan∠BCN=\frac{BD}{CD}=1$，
所以CD=BD．
則$AC=AD-CD=\frac{4}{3}BD-BD=\frac{1}{3}BD=1$，即BD=3，
所以CD=3，AD=4，
由勾股定理得，$AB=\sqrt{A{D^2}+B{D^2}}=5$（km）．
所以A，B兩鎮間的距離為5km．…（4分）
（2）方案①：沿線段AB在水下鋪設時，總鋪設費用為5×4=20（萬元）．…（6分）
方案②：設∠BPD=θ，則$θ∈（{θ_0}，\frac{π}{2}）$，其中θ₀=∠BAN，
在Rt△BDP中，$DP=\frac{BD}{tanθ}=\frac{3}{tanθ}$，$BP=\frac{BD}{sinθ}=\frac{3}{sinθ}$，
所以$AP=4-DP=4-\frac{3}{tanθ}$．
則總鋪設費用為$2AP+4BP=8-\frac{6}{tanθ}+\frac{12}{sinθ}=8+6•\frac{2-cosθ}{sinθ}$．…（8分）
設$f（θ）=\frac{2-cosθ}{sinθ}$，則$f'（θ）=\frac{{{{sin}^2}θ-（2-cosθ）cosθ}}{{{{sin}^2}θ}}=\frac{1-2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$，
令f'（θ）=0，得$θ=\frac{π}{3}$，列表如下：

θ	$（{θ_0}，\frac{π}{3}）$	$\frac{π}{3}$	$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$
f'（θ）	-	0	+
f（θ）	↘	極小值	↗

所以f（θ）的最小值為$f（\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$．
所以方案②的總鋪設費用最小為$8+6\sqrt{3}$（萬元），此時$AP=4-\sqrt{3}$． …（12分）
而$8+6\sqrt{3}＜20$，
所以應選擇方案②進行鋪設，點P選在A的正西方向$（4-\sqrt{3}）$km處，總鋪設費用最低．…（14分）

點評 本題考查了簡單的數學建模思想方法，考查了利用導數求函數的最值，是中檔題