Question

6．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，點P，Q分別在側面ABC棱AD上運動，PQ=2，M為線段PQ中點，當P，Q運動時，點M的軌跡把三棱錐A-BCD分成上、下兩部分的體積之比等于$\frac{π}{{48\sqrt{3}-π}}$．

Answer 1

分析 由已知中三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，我們易計算出三棱錐A-BCD的體積，又由點P，Q分別在側面ABC棱AD上運動，PQ=2，M為線段PQ中點，我們可以判斷M的軌跡與三棱錐轉(zhuǎn)成的兩個幾何體的體積，進而得到答案．

解答 解：∵三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，
則棱錐A-BCD的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×\frac{\sqrt{3}}{2}×4$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$
又∵點P，Q分別在側面ABC棱AD上運動，PQ=2，M為線段PQ中點，
∴點M的軌跡在以A為球心以1半徑的球面上
則點M的軌跡把三棱錐A-BCD分成上、下兩部分的體積之比為：
$\frac{1}{12}•\frac{4}{3}π$：（$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{12}•\frac{4}{3}π$）=$\frac{π}{{48\sqrt{3}-π}}$，
故答案為$\frac{π}{{48\sqrt{3}-π}}$．

點評 本題考查的知識點是棱錐的體積及球的體積，其中判斷出M的軌跡在以A為球心以1半徑的球面上是解答本題的關鍵．