Question

1．已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，點E在棱PD上，且BE⊥PD．
（Ⅰ）求異面直線PA與CD所成的角的大小；
（Ⅱ）求證：BE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A-PD-B的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于直線PA與CD不在同一平面內，要把兩條異面直線移到同一平面內，做AF∥CD，異面直線PA與CD所成的角與AF與PA所成的角相等．
（Ⅱ）證明CD⊥平面PDB，可得CD⊥BE，結合BE⊥PD即可得證．
（Ⅲ）連接AF，交BD于點O，則AO⊥BD．過點O作OH⊥PD于點H，連接AH，則AH⊥PD，則∠AHO為二面角A-PD-B的平面角．

解答 （Ⅰ）解：取BC中點F，連接AF，則CF=AD，且CF∥AD，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∴AF∥CD，
∴∠PAF（或其補角）為異面直線PA與CD所成的角
∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．
∵PB=AB=BF=1，
∴AB⊥BC，
∴PA=PF=AF=$\sqrt{2}$．
∴△PAF是正三角形，∠PAF=60°
即異面直線PA與CD所成的角等于60°．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，CF=BF=DF，∴∠CDB=90°．
∴CD⊥BD
又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD、
∵PB∩BD=B，
∴CD⊥平面PBD，
∴CD⊥BE
∵CD∩PD=D，BE⊥PD
∴BE⊥平面PCD；
（Ⅲ）解：連接AF，交BD于點O，則AO⊥BD、
∵PB⊥平面ABCD，
∴平面PBD⊥平面ABD，
∴AO⊥平面PBD、
過點O作OH⊥PD于點H，連接AH，則AH⊥PD、
∴∠AHO為二面角A-PD-B的平面角．
在Rt△ABD中，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△PAD中，AH=$\frac{PA•AD}{PD}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
在Rt△AOH中，sin∠AHO=$\frac{AO}{AH}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴∠AHO=60°．
即二面角A-PD-B的大小為60°．

點評 此題主要考查異面直線的角度、二面角的平面角的計算，考查線面垂直，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．