Question

15．已知在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，且滿足（2c-b）tanB=btanA．
（1）求A的大小；
（2）求$\frac{{{b^2}-{{（a-c）}^2}+bc}}{ac}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據正弦定理及同角三角函數間的基本關系化簡已知的等式（2c-b）tanB=btanA，由sinB不為0，在等式兩邊都除以sinB后，利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數公式化簡，再由sinC不為0，兩邊都除以sinC，得到cosA的值，然后由A的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出角A的度數．
（2）由余弦定理，正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡所求可得$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（B-$\frac{π}{3}$）+2，結合B的范圍，利用正弦函數的圖象和性質即可得解．

解答 解：由（2c-b）tanB=btanA，及正弦定理得：
（2sinC-sinB）•$\frac{sinB}{cosB}$=sinB•$\frac{sinA}{cosA}$，
∵sinB≠0，
∴（2sinC-sinB）•$\frac{1}{cosB}$=$\frac{sinA}{cosA}$，
化簡得：2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB，由A+B+C=π，
得到：2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，
由sinC≠0，得到cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$\frac{{{b^2}-{{（a-c）}^2}+bc}}{ac}$=$\frac{^{2}-{a}^{2}-{c}^{2}+2ac+bc}{ac}$=$\frac{^{2}-{a}^{2}-{c}^{2}}{ac}$+2+$\frac{a}$=-2cosB+$\frac{sinB}{sinA}$+2
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB-2cosB+2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（B-$\frac{π}{3}$）+2，
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），B-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$），
∴sin（B-$\frac{π}{3}$）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（B-$\frac{π}{3}$）+2∈（0，4）．

點評 此題考查學生靈活運用正弦定理，余弦定理，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了同角三角函數間的基本關系化簡求值，靈活運用誘導公式及兩角和的正弦函數公式化簡求值，是一道中檔題．