Question

20．已知在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，且滿足（2c-b）cosA=acosB
（1）求A的大�。�
（2）若a=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理和三角函數公式可得cosA=$\frac{1}{2}$，可得A=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理結合基本不等式可得4=b²+c²-bc≥2bdc-bc，可得bc的最大值，進而可得△ABC的面積的最大值．

解答 解：（1）∵（2c-b）cosA=acosB，
∴由正弦定理可得（2sinA-sinB）cosA=sinAcosB，
變形可得2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC，
∵C為三角形的內角，sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
代入數據可得4=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴bc≤4，當且僅當b=c時取等號，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\sqrt{3}$，當且僅當b=c時取等號，
∴△ABC的面積的最大值為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正，余弦定理在解三角形中的應用，涉及基本不等式求最值，屬基礎題．