Question

8．已知A，B，C是△ABC的三個內角．
（1）3cos（B-C）-1=6cosBcosC，求cosA的值；
（2）若sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA，求A．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的余弦函數公式化簡已知等式左邊的第一項，移項合并后再利用兩角和與差的余弦函數公式得出cos（B+C）的值，將cosA用三角形的內角和定理及誘導公式變形后，將cos（B+C）的值代入即可求出cosA的值；
（2）利用兩角和與差的正弦公式、輔助角公式將已知等式變形，結合A的取值范圍來求A的值即可．

解答 解：（1）3cos（B-C）-1=6cosBcosC，
化簡得：3（cosBcosC+sinBsinC）-1=6cosBcosC，
變形得：3（cosBcosC-sinBsinC）=-1，
即cos（B+C）=-$\frac{1}{3}$，
則cosA=-cos（B+C）=$\frac{1}{3}$；
（2）sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA，展開得$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{3}{2}$cosA=0，
即$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{3}$）=0．
因為0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．

點評 此題考查了余弦定理，兩角和與差的余弦函數公式，誘導公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵，屬于中檔題．