Question

19．定積分${∫}_{-1}^{1}$ $\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=（　　）

• A． 1
• B． π
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 令x=sint，把${∫}_{-1}^{1}$ $\sqrt{1-{x}^{2}}$dx等價轉化為$\frac{1}{2}{∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}[1-cos（2t）]gt$，由此能求出結果．

解答 解：令x=sint，
則${∫}_{-1}^{1}$ $\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}co{s}^{2}tdt$
=$\frac{1}{2}{∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}[1-cos（2t）]gt$
=$\frac{1}{2}t{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}-\frac{1}{2}{∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}cos（2t）dt$
=$\frac{1}{2}π-\frac{1}{4}sin（2t）{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$
=$\frac{π}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查函數的定積分的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意換元法和三角函數性質的合理運用．