Question

6．學校生態園計劃移栽甲乙兩種植物各2株，設甲、乙兩種植物的成活率分別是$\frac{2}{3}$和$\frac{1}{2}$，且各株植物是否成活互不影響，求移栽的4株植物中：
（1）恰成活一株的概率；
（2）成活的株數的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）甲兩株中活一株符合獨立重復試驗，概率為${C}_{2}^{1}$$\frac{2}{3}$$\frac{1}{3}$，同理可算乙兩株中活一株的概率，兩值相加即可；
（2）確定ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，求出相應的概率，即可求出成活的株數ξ的分布列與期望．

解答 解：設A_k表示甲種植物成活k株，k=0，1，2，B_l表示甲種植物成活l株，l=0，1，2，
則A_k與B_l相互獨立，$P（{A_k}）=C_2^k{（\frac{2}{3}）^k}{（\frac{1}{3}）^{2-k}}$，$P（{B_l}）=C_2^l{（\frac{1}{2}）^l}{（\frac{1}{2}）^{2-l}}$，
（1）設甲成活的概率是p（A₁），乙成活的概率為$p（{B_l}）=C_2^l{（\frac{1}{2}）^l}{（\frac{1}{2}）^{2-l}}$，$P=P（{A_0}）P（{B_1}）+P（{A_1}）P（{B_0}）=\frac{1}{9}×\frac{1}{2}+\frac{4}{9}×\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$；
（2）設成活的株數為ξ，則ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4.$P（ξ=0）=\frac{1}{36}$$P（ξ=1）=\frac{1}{6}$$P（ξ=2）=\frac{13}{36}$$P（ξ=3）=\frac{1}{3}$$P（ξ=4）=\frac{1}{9}$，

ξ	0	1	2	3	4
$p（{B_l}）=C_2^l{（\frac{1}{2}）^l}{（\frac{1}{2}）^{2-l}}$	$\frac{1}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$

綜上的分布列為Eξ=$0×\frac{1}{36}+1×\frac{1}{6}+2×\frac{13}{36}+3×\frac{1}{3}+4×\frac{1}{9}=\frac{7}{3}（株）$．

點評 本題考查的知識點是相互獨立事件的概率乘法公式，離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望，其中在求隨機變量ξ的分布列時，對隨機變量的每一個取值，要注意不重不漏，以便準確的計算出ξ取得各值時的概率，這也是計算分布列及數學期望時最容易產生的錯誤．