Question

19．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥AC，D，E分別是AB，AC的中點．
（1）求證：B₁C₁∥平面A₁DE；
（2）求證：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析 （1）證明B₁C₁∥DE，即可證明B₁C₁∥平面A₁DE；
（2）證明DE⊥平面ACC₁A₁，即可證明平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁．

解答 證明：（1）因為D，E分別是AB，AC的中點，所以DE∥BC，…（2分）
又因為在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁C₁∥BC，所以B₁C₁∥DE…（4分）
又B₁C₁?平面A₁DE，DE?平面A₁DE，所以B₁C₁∥平面A₁DE…（6分）
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，
又DE?底面ABC，所以CC₁⊥DE…（8分）
又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）
又CC₁，AC?平面ACC₁A₁，且CC₁∩AC=C，所以DE⊥平面ACC₁A₁…（12分）
又DE?平面A₁DE，所以平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁…（14分）

點評 本題考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．