Question

9．已知關于x的不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集為$\{x|x≠-\frac{1}{a}，x∈R\}$，且a＞b，則$\frac{{{a^2}+{b^2}+1}}{a-b}$的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集得出ab=1且a＞0；再化簡$\frac{{{a^2}+{b^2}+1}}{a-b}$，利用基本不等式求出它的最小值．

解答 解：關于x的不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集為$\{x|x≠-\frac{1}{a}，x∈R\}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4ab=0}\end{array}\right.$，
即ab=1且a＞0；
又a＞b，∴a-b＞0；
∴$\frac{{{a^2}+{b^2}+1}}{a-b}$=$\frac{{（a-b）}^{2}+2ab+1}{a-b}$=（a-b）+$\frac{3}{a-b}$≥2$\sqrt{（a-b）•\frac{3}{a-b}}$=2$\sqrt{3}$，
當且僅當a-b=$\frac{3}{a-b}$，即a-b=$\sqrt{3}$時“=”成立；
∴$\frac{{{a^2}+{b^2}+1}}{a-b}$的最小值是$2\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了一元二次不等式的解集以及利用基本不等式求最值的應用問題，是綜合性題目．