Question

7．如圖，在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，過對角線BD₁的一個平面交AA₁于E，交CC₁于F，
①四邊形BFD₁E一定是平行四邊形
②四邊形BFD₁E有可能是正方形
③四邊形BFD₁E在底面ABCD內的投影一定是正方形
④四邊形BFD₁E有可能垂直于平面BB₁D
以上結論正確的為①③④．（寫出所有正確結論的編號）

Answer 1

分析 ①正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，前后、左右兩對側面相互平行，利用面面平行的性質定理可判斷四邊形BFD₁E是平行四邊形；
②先假設四邊形BFD₁E是正方形，利用勾股定理可導出矛盾，從而可判斷其正誤；
③四邊形BFD₁E在底面ABCD內的投影為ABCD，是正方形，可判斷其正誤；
④四利用菱形的對角線互相垂直及面面垂直的性質，可判斷四邊形BFD₁E有可能垂直于平面BB₁D．

解答 解：連接D₁E、D₁F、BE、BF、EF，
對于①，正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，前后、左右兩對側面相互平行，由面面平行的性質定理可得，BE∥D₁F，D₁E∥BF，故四邊形BFD₁E一定是平行四邊形，①正確；
對于②，設該正方體的邊長為2，若四邊形BFD₁E是正方形，
則E、F分別為AA₁與CC₁的中點，D₁E=BE且D₁E⊥BE，
實際上，D₁E=BE=$\sqrt{5}$，
BD₁=2$\sqrt{3}$，并不滿足D₁E²+BE²=BD₁²，即D₁E⊥BE不成立，故②錯誤；
對于③，四邊形BFD₁E在底面ABCD內的投影是ABCD，為正方形，故③正確；
對于④，當E和F是所在棱的中點時，易證BE=D₁E，則四邊形BFD₁E是菱形，則EF垂直于BD₁，同理四邊形B₁FDE也是菱形，則EF垂直于B₁D，因此EF垂直于平面BB₁D₁D，從而平面BFD₁E垂直于平面BB₁D₁D，即四邊形BFD₁E有可能垂直于平面BB₁D，故④正確．
綜上所述，以上結論正確的為①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，突出考查空間幾何中面面平行、面面垂直的性質與判定，考查作圖、分析與邏輯推理能力，屬于難題．