Question

18．已知A（0，2），B（3，1）是橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$上的兩點．
（1）求橢圓G的離心率；
（2）已知直線l過點B，且與橢圓G交于另一點C（不同于點A），若以BC為直徑的圓經過點A，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）將A和B點的坐標代入橢圓G的方程，列出方程組求出a和b的值，再求出c和離心率；
（2）由（1）求出橢圓G的方程，對直線l的斜率進行討論，不妨設直線l的方程，與橢圓G的方程聯立后，利用韋達定理寫出式子，將條件轉化為$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，由向量數量積的坐標運算列出式子，代入化簡后求出k的值，即得直線l的方程．

解答 解：（1）∵橢圓G過A（0，2），B（3，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2\sqrt{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
則$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$2\sqrt{2}$，
∴橢圓G的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）由（1）得，橢圓G的方程是$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
①當直線的斜率不存在時，則直線BC的方程是x=3，
代入橢圓G的方程得，C（3，-1），不符合題意；
②當直線的斜率存在時，設斜率為k，C（x₁，y₁），
則直線BC的方程為y=k（x-3）+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）+1}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$得，（3k²+1）x²-6k（3k-1）x+27k²-18k-3=0，
∴3+x₁=$\frac{6k（3k-1）}{3{k}^{2}+1}$，3x₁=$\frac{3（9{k}^{2}-6k-1）}{3{k}^{2}+1}$，則x₁=$\frac{9{k}^{2}-6k-1}{3{k}^{2}+1}$，
∵以BC為直徑圓經過點A，
∴AB⊥AC，則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，即（3，-1）•（x₁，y₁-2）=0，
∴3x₁-y₁+2=0，即3x₁-[k（x₁-3）+1]=0，
∴（3-k）x₁+3k+1=0，（3-k）•$\frac{9{k}^{2}-6k-1}{3{k}^{2}+1}$+3k+1=0，
化簡得，18k²-7k-1=0，
解得k=$-\frac{1}{2}$ 或k=$\frac{1}{9}$，
∴直線BC的方程為y=$-\frac{1}{2}$（x-3）+1或y=$\frac{1}{9}$（x-3）+1，
即直線BC的方程是x+2y-5=0或x-9y+6=0，
綜上得，直線l的方程是x+2y-5=0或x-9y+6=0．

點評 本題考查了待定系數法求橢圓標準方程，直線與橢圓位置關系，向量數量積的坐標運算，以及“設而不求”的解題思想方法，考查轉化思想，化簡、變形、計算能力．