Question

11．在△ABC中，角A，B，C對應的三邊長分別為a，b，c，c²-a（a-b）=b²．
（1）求角C的值；
（2）若$cosA+cosB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且A＜B，求角A的值．

Answer 1

分析 （1）由已知整理可得a²+b²-c²=ab，利用余弦定理可求cosC=$\frac{1}{2}$，結合0＜C＜π，可求C的值．
（2）由三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用化簡可得sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結合$A+B=\frac{2π}{3}$，且A＜B，可求$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，利用特殊角的三角函數值可求A 的值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）由c²-a（a-b）=b²，即a²+b²-c²=ab，…（2分）
由余弦定理得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，
結合0＜C＜π，
得$C=\frac{π}{3}$．…（4分）
（2）因為cosA+cosB=$cosA+cos（{\frac{2π}{3}-A}）$…（6分）
=$\frac{1}{2}cosA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA=sin（{A+\frac{π}{6}}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（7分）
因為$A+B=\frac{2π}{3}$，且A＜B，
所以$0＜A＜\frac{π}{3}$，
所以$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，
所以$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$，…（9分）
所以$A=\frac{π}{6}$…（10分）

點評 本題主要考查了余弦定理，三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用，特殊角的三角函數值在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．