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4.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a2+b2-c2=ab,c=3,sinA+sinB=2$\sqrt{6}$sinAsinB,則△ABC的周長為 3+3$\sqrt{2}$.

分析 由a2+b2-c2=ab,及余弦定理,可求cosC,結合范圍C∈(0,π),可求C=$\frac{π}{3}$,利用三角函數恒等變換的應用,正弦定理化簡已知可求(a+b)c=3$\sqrt{2}$ab,代入c=3,可得:a+b=$\sqrt{2}$ab,進而可求2(ab)2-3ab-9=0,解得ab的值,從而可求三角形的周長.

解答 解:由a2+b2-c2=ab,及余弦定理,可得:cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$,
又C∈(0,π),
所以C=$\frac{π}{3}$,
由sinA+sinB=2$\sqrt{6}$sinAsinB,可得:(sinA+sinB)sinC=2$\sqrt{6}$sinCsinAsinB,
可得:(sinA+sinB)sinC=2$\sqrt{6}$sin$\frac{π}{3}$sinAsinB,
可得:(sinA+sinB)sinC=3$\sqrt{2}$sinAsinB,
結合正弦定理,可得:(a+b)c=3$\sqrt{2}$ab,代入c=3,可得:a+b=$\sqrt{2}$ab,
再結合a2+b2-c2=ab,可得:(a+b)2-2ab-32=ab,
可得:(a+b)2-3ab-9=0,可得:($\sqrt{2}$ab)2-3ab-9=0,
可得:2(ab)2-3ab-9=0,可得:(2ab+3)(ab-3)=0,解得:ab=-$\frac{3}{2}$(舍去)或ab=3.
可得:a+b=3$\sqrt{2}$,a+b+c=3+3$\sqrt{2}$.
故答案為:3+3$\sqrt{2}$.

點評 本題主要考查了余弦定理,三角函數恒等變換的應用,正弦定理在解三角形中的綜合應用,考查了轉化思想,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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