Question

19．設函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x+1（a＞0）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間、極大值和極小值．
（Ⅱ）若x∈[a+1，a+2]時，恒有f′（x）＞-3a，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判定函數當x變化時，f'（x）的變化情況，f'（x）＞0求得單調增區間，f'（x）＜0求得單調減區間，f'（x）的變化情況研究出函數的極值；
（Ⅱ）研究x∈[a+1，a+2]時，恒有f'（x）＞-3a成立的問題，可轉化成f'（x）的最小值大于-3a成立．

解答 解：（Ⅰ）令f'（x）=x²-2ax-3a²=0，得x=-a或x=3a，
則當x變化時，f（x）與f'（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-a）	-a	（-a，3a）	3a	（3a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	$\frac{5}{3}$a3+1	遞減	-9a3+1	遞增

可知：當x∈（-∞，-a）時，函數f（x）為增函數，
當x∈（3a，+∞）時，函數f（x）也為增函數．
當x∈（-a，3a）時，函數f（x）為減函數，
當x=-a時，f（x）的極大值為$\frac{5}{3}$a³+1；
當x=3a時，f（x）的極小值為-9a³+1．
（Ⅱ）因為f'（x）=x²-2ax-3a²的對稱軸為x=a，
且其圖象的開口向上，
所以f'（x）在區間[a+1，a+2]上是增函數，
則在區間[a+1，a+2]上恒有f'（x）＞-3a
等價于f'（x）的最小值大于-3a成立．
所以f'（a+1）=（a+1）²-2a（a+1）-3a²=-4a²+1＞-3a，
解得：-$\frac{1}{4}$＜a＜1：，又a＞0，
故a的取值范圍是（0，1）．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性、極值以及恒成立問題．