Question

14．已知圓C：（x-1）²+y²=9內有一點P（2，2），過點P作直線l交圓C于A、B兩點．
（1）當l經過圓心C時，求直線l的方程；
（2）當弦AB最短時，寫出直線l的方程；
（3）當直線l的傾斜角為45°時，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）求出圓的圓心，代入直線方程，求出直線的斜率，即可求直線l的方程；
（2）當弦AB被點P平分時，弦AB最短，求出直線的斜率，即可寫出直線l的方程；
（3）當直線l的傾斜角為45°時，求出直線的斜率，然后求出直線的方程，利用點到直線的距離，半徑，半弦長的關系求弦AB的長．

解答 解：（1）已知圓C：（x-1）²+y²=9的圓心為C（1，0），
因為直線l過點P，C，所以直線l的斜率為2，所以直線l的方程為y=2（x-1），即2x-y-2=0．
（2）當弦AB被點P平分時，弦AB最短，此時l⊥PC，直線l的方程為y-2=-$\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-6=0．
（3）當直線l的傾斜角為45°時，斜率為1，直線l的方程為y-2=x-2，即x-y=0．
圓心到直線l的距離為$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，圓的半徑為3，弦AB的長為：2$\sqrt{9-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{34}$．

點評 本題是基礎題，考查直線與圓的位置關系，計算直線的斜率，點到直線的距離；直線與圓的特殊位置關系的應用是本題的關鍵．