Question

3．設f（x）是定義在R上的增函數，且對任意x，都有f（-x）+f（x）=0恒成立，如果實數x，y滿足不等式f（x²-6x）+f（y²-4y+12）≤0，那么$\frac{y-2}{x}$的最大值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 由條件利用函數的奇偶性、單調性可得 （x-3）²+（y-2）²≤1，表示以（3，2）為圓心、半徑等于1的圓及其內部區域．而 $\frac{y-2}{x}$的表示圓內的點（x，y）與點（0，2）連線的斜率，求出該圓的切線斜率，可得結論．

解答 解：∵對任意x，都有f（-x）+f（x）=0恒成立，即f（-x）=-f（x）恒成立，故函數f（x）為奇函數．
根據f（x）是定義在R上的增函數，f（x²-6x）+f（y²-4y+12）≤0，
可得 f（x²-6x）≤-f（y²-4y+12）=f（-y²+4y-12），即 x²-6x≤-y²+4y-12，
即x²-6x+y²-4y+12≤0，即 （x-3）²+（y-2）²≤1，表示以（3，2）為圓心、半徑等于1的圓及其內部區域．
而 $\frac{y-2}{x}$的表示圓內的點（x，y）與點（0，2）連線的斜率，
設過點（0，2）的圓的切線的斜率為k，則切線方程為y-2=k（x-0），即kx-y+2=0，
根據圓心（3，2）到切線的距離等于半徑，可得$\frac{|3k-2+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
可得$\frac{y-2}{x}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故選：D．

點評 本題主要考查函數的奇偶性、單調性的應用，直線的斜率公式，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，屬于中檔題．