Question

16．已知直線l的參數方程：$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+2t\end{array}$（t為參數）和圓C的極坐標方程：ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．P（0，1）
（1）將直線l的參數方程化為普通方程，圓C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）判斷直線l和圓C的位置關系，若相交于兩點A、B，求|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數方程：$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+2t\end{array}$（t為參數），消去參數可得直線l的普通方程，圓C的極坐標方程：ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．即ρ²=ρ•4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．ρ²=ρ•4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）．利用互化公式可得：圓C為直角坐標方程．
（2）圓C方程為（x-2）²+（y-2）²=8，圓心C（2，2），半徑r=2$\sqrt{2}$．利用點到直線的距離公式可得圓心（2，2）到直線l的距離d$＜2\sqrt{2}$=r，可得直線l和圓C相交，由相交弦定理可得：PA•PB=PE•PF=（PC+r）（r-PC）．

解答 解：（1）直線l的參數方程：$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+2t\end{array}$（t為參數），消去參數可得直線l的普通方程為y=1+2x，
圓C的極坐標方程：ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．即ρ²=ρ•4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．ρ²=ρ•4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）．
可得：圓C為直角坐標方程為x²+y²-4x-4y=0．…（4分）
（2）圓C方程為（x-2）²+（y-2）²=8，圓心C（2，2），半徑r=2$\sqrt{2}$．
圓心（2，2）到直線l的距離d=$\frac{|2×2-2+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$$＜2\sqrt{2}$=r，
直線l和圓C相交，且P（0，1）在圓內，連接PC，交圓于兩點E、F，
由相交弦定理可得：
PA•PB=PF•PE=（PC+r）（r-PC）=r²-PC²=8-[（2-0）²+（2-1）²]=3．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系、相交弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．