Question

20．已知P（4，0）是圓x²+y²=36內一點，A，B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，則矩形APBQ的頂點Q的軌跡是（　　）

• A． 圓
• B． 橢圓
• C． 雙曲線
• D． 拋物線

Answer 1

分析 設AB的中點為R，設R的坐標為（x₁，y₁），則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²-|OR|² =36-（x₁²+y₁²），再由|AR|=|PR|，由此得到點R的軌跡方程 x₁²+y₁²-4x₁-10=0，設Q（x，y），因為R是PQ的中點，可得x₁=$\frac{x+4}{2}$，y₁=$\frac{y}{2}$，代入x₁²+y₁²-4x₁-10=0化簡即得所求．

解答 解：設AB的中點為R，則R也是PQ的中點，
設R的坐標為（x₁，y₁），則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|．
又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理：
在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²-|OR|²=36-（x₁²+y₁²）．
又|AR|=|PR|，所以有（x₁-4）²+y₁²=36-（x₁²+y₁²），即x₁²+y₁²-4x₁-10=0．
因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動．
設Q（x，y），因為R是PQ的中點，所以x₁=$\frac{x+4}{2}$，y₁=$\frac{y}{2}$，
代入方程x₁²+y₁²-4x₁-10=0，
整理得：x²+y²=56，這就是所求的Q點的軌跡方程．

點評 本題主要考查利用“相關點代入法”求曲線的軌跡方程，利用平面幾何的基本知識和兩點間的距離公式建立線段AB中點R的軌跡方程．欲求Q的軌跡方程，應先求R的軌跡方程，若學生思考不深刻，發現不了問題的實質，很難解決此題，屬于中檔題．