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9.已知復數z=$\frac{(-1+3i)(1-i)-(1+3i)}{i}$,ω=z+ai(a∈R),當|$\frac{ω}{z}$|≤$\sqrt{2}$時,求a的取值范圍.

分析 利用復數代數形式的乘除運算化簡復數z,然后代入ω=z+ai,再求出$\frac{ω}{z}$,由復數求模公式求出$|\frac{ω}{z}|$,求解一元二次不等式可得答案.

解答 解:$z=\frac{(-1+3i)(1-i)-(1+3i)}{i}=\frac{(2+4i)-(1+3i)}{i}=\frac{1+i}{i}=1-i$,
∵ω=z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i,
∴$\frac{ω}{Z}=\frac{1+(a-1)i}{1-i}=\frac{[1+(a-1)i](1+i)}{2}=\frac{2-a+ai}{2}$.
∴$|\frac{ω}{z}|=\frac{{\sqrt{{{(2-a)}^2}+{a^2}}}}{2}≤\sqrt{2}$,
∴a2-2a-2≤0,
解得$1-\sqrt{3}≤a≤1+\sqrt{3}$.
故a的取值范圍是[$1-\sqrt{3},1+\sqrt{3}$].

點評 本題考查了復數代數形式的混合運算,考查了復數模的求法以及一元二次不等式的解法,是基礎題.

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①若|AF1|=7,|AF2|=5,則曲線C1、C2的方程分別為
$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1(-6≤x≤3)、y2=8x(0≤x≤3)
②過F2作直線l,分別于“月食圓”依次交于B、C、D、E四點,若B(x1,y1),E(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),則x1x2x3x4為定值;
③連接BF1,EF2,在△BF1F2中,記∠F1BF2=α,∠BF1F2=β,∠F1F2B=γ,則e=$\frac{sinα}{sinβ+sinγ}$;
④若P、Q為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上兩動點,且OP⊥OQ,則S△OPQ的最小值是$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$.
以上說法正確的有①③④.

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14.已知向量$\overrightarrow{a}$=(2,3),$\overrightarrow{b}$=(-1,2),若m$\overrightarrow{a}$+4$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$共線,m=-2.

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(Ⅰ)分別用$\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$表示向量$\overrightarrow{AE}$,$\overrightarrow{AF}$;
(Ⅱ)若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{AF}$,其中λ,μ∈R,求出λ+μ的值.

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(1)求橢圓C的方程;
(2)求證:直線MN的斜率為定值.

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