Question

10．若圓x²+y²-2x-4y-1=0上存在兩點關于直線2ax+by-2=0（a＞0，b＞0）對稱，則$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值為（　　）

• A． 5
• B． 7
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 9

Answer 1

分析 圓x²+y²-2x-4y-1=0上存在兩點關于直線2ax+by-2=0（a＞0，b＞0）對稱，說明直線經過圓心，推出a+b=1，代入$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$，利用基本不等式，確定最小值，推出選項．

解答 解：由圓的對稱性可得，直線2ax+by-2=0必過圓心（1，2），
所以a+b=1．
所以$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）（a+b）=$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$+5≥4+5=9，
當且僅當$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$，即2a=b時取等號，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值為9．
故選D

點評 本題考查關于點、直線對稱的圓的方程，基本不等式，考查計算能力，是基礎題．